Sur l'écriture d'un nombre réel dans des bases différentes
Amphithéâtre S3 045
Yann Bugeaud (Université de Strasbourg)
Soit b un entier au moins égal à 2. Un nombre réel x est normal en base b si, pour tout entier k, tout bloc de longueur sur l’alphabet {0, 1, … , b-1} apparaît dans le développement en base b de x avec la fréquence 1/b^k. Soient r et s deux nombres entiers multiplicativement indépendants. Vers 1960, Cassels et Schmidt, indépendamment, ont montré l'existence de nombres réels normaux en base r qui ne sont pas normaux en base s. Nous donnons brièvement les idées de la démonstration, puis nous prouvons que si le développement en base r d'un nombre réel irrationnel est une suite sturmienne sur l'alphabet {0, 1, ... , r-1}, alors son développement en base s n'est pas une suite sturmienne sur l'alphabet {0, 1,... , s-1}. Les propriétés des suites sturmiennes et les fractions continues jouent un rôle important dans la démonstration, qui fait également appel au théorème du sous-espace de Schmidt.