Espèces en posets opéradiques

L'action du groupe symétrique sur l'homologie du poset des partitions a été calculée dans les années 1980. Plusieurs chercheurs tels que Hanlon, Stanley et Joyal, ont remarqué le lien avec le S-module sous-jacent à l'opérade Lie. En 2002, Fresse a donné une preuve de ce lien par un isomorphisme de complexe de chaînes entre le complexe d'orde du poset et la construction bar à niveaux opéradiques. Peu après, Vallette a étendu ce résultat à une nouvelle famille de posets, appelés les posets de partitions généralisés. Chapoton a remarqué à la même époque le même genre de phénomène pour les posets d'hyperarbres, dont l'homologie se relie à l'opérade Pré-Lie, sans qu'une explication algébrique en soit donnée. Nous munissons ici certaines familles de posets d'une structure additionnelle que nous appelons "espèce en posets opéradiques" et qui induit une structure d'opérade sur leur cohomologie. Nous commencerons par introduire toutes les notions nécessaires et illustrerons notre construction à l'aide d'exemples, venant des posets de partition, mais aussi des posets des hyperarbres et des fonctions de parking. Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Clément Dupont (IMAG).