Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants

Mardi, 17. mars 2020 - 14:00 - 15:00
Orateur: 

Ilia Smilga (Marseille)

Résumé: 

Soit $G$ un groupe de Lie réel semisimple, $\mathfrak{a}$ son "sous-espace de Cartan" ou "tore déployé maximal" (sous-algèbre abélienne diagonalisable sur $\mathbb{R}$ maximale). On peut alors définir son groupe de Weyl restreint $W$, comme le quotient du normalisateur de $\mathfrak{a}$ par son centralisateur. (Je donnerai des exemples concrets).

Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension finie $\rho$ de ce groupe (agissant sur un espace $V$). Alors $W$ a une action bien définie sur le sous-espace $V^L$ formé par les vecteurs de $V$ fixés par le normalisateur de $\mathfrak{a}$, appelé $MA$ ou $L$. Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le "mot le plus long" $w_0$, qui envoie les racines (restreintes) positives sur les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question suivante : dans quels cas ce $w_0$ a-t-il une action non triviale sur $V^L$ ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour lesquelles, déjà, $V^L$ est non trivial ? et puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, $w_0$ agit non-trivialement sur $V^L$ ? Dans le cas particulier où $G$ est déployé, la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième, qui est : "presque toutes". Dans le cas général, j’ai récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.