Les fonctions L p-adiques horizontales et la non-annulation des tordues des valeurs L par des caractères d'ordre fixe

Étant donné un entier d supérieur ou égal à 2, une question fondamentale est de quantifier combien de tordues de caractère d'ordre d de la valeur centrale (ou des dérivées centrales) d'une fonction L associée à une forme modulaire primitive sont non nulles. Quand d = 2, cette question est abordée par la conjecture de Goldfeld, qui prédit que 50% des tordues sont nulles et 50% sont non nulles, pour laquelle des progrès substantiels ont été réalisés ces dernières années. Dans le cas de d > 2, les conjectures de David-Fearnley-Kisilevsky prédisent que 100% des tordues devraient être non nulles. Cependant, on savait peu de choses sur cette conjecture auparavant car elle dépasse la portée des techniques analytiques. Dans cet exposé je décrirai une nouvelle approche pour étudier ces questions en utilisant la théorie d'Iwasawa horizontale, en particulier une nouvelle construction appelée les « fonctions L p-adiques horizontales ». La non-annulation de ces objets est liée à la conjecture de Kolyvagin et à d'autres questions dans le cercle d'idées autour des systèmes d'Euler. En les utilisant, on déduit des bornes inférieures quantitatives fortes sur le nombre de tordues non nulles d'ordre d ainsi que celui de la première dérivée. Par conséquent, pour 100% des courbes elliptiques sur les rationnels, on améliore les meilleurs résultats généraux sur la conjecture de Goldfeld dus à Ono et Kumar-Mallesham-Sharma-Singh. On donne aussi les premiers résultats généraux sur la conjecture de David-Fearnley-Kisilevsky.

Il s'agit d'un travail en commun avec Asbjørn Nordentoft.