Espaces de fonctions adaptés à des semi-groupes pour la mécanique des fluides en temps long

Pour considérer des équations de la mécanique des fluides comme Navier-Stokes, on se ramène généralement à l’étude d’une équation différentielle abstraite pour construire des solutions, étudier leur unicité, etc. L’étude d’un problème de Cauchy abstrait associé à un semi-groupe avec régularité L^q en temps nous amène alors à considérer des espaces de fonctions adaptés au semi-groupe pour les conditions initiales. Cet espace abstrait donne ainsi des estimées essentiellement optimale pour le traitement global en temps.

Cependant, lorsque l’opérateur est injectif, mais non inversible, par exemple le Laplacien sur R^n, la construction issue de la théorie classique ne permet pas de récupérer les estimations globales en temps sur la solution comme fonction continue. Ceci vient du fait que cela nécessite une variante des espaces de Sobolev et Besov classiques appelés espaces homogènes qui n'est pas possible d'obtenir à partir de la théorie classique. Le problème est le suivant : la construction classique de ces espaces n’est pas adaptée pour l’étude des problèmes non-linéaires. La construction adaptée nécessite (!) de perdre la complétude des espaces à partir d’une régularité critique.

L’exposé sera organisé de la façon suivante : On commencera par faire un tour d’horizon sur les générateurs de semi-groupes holomorphes et les espaces adaptés en exhibant les liens avec la régularité maximale L^q globale en temps. On discutera ensuite des problèmes de construction et d’identification des espaces adaptés ainsi que de leurs propriétés. On s’attardera sur le cas particulier du Laplacien de Hodge sur le demi-espace plat qui permet de travailler avec des généralisations du projecteur de Leray adapté à n’importe quel degré de forme différentielles. Cela permet traiter la décomposition de Hodge sur le domaine associé pour les espaces de Besov. Si nous avons assez de temps, nous appliquerons une partie des résultats présentés pour discuter le caractère bien posé global en temps du système de magnétohydrodynamique avec effet de Hall (Navier-Stokes couplé avec une équation d'évolution quasi-linéaire).