Tresses simples duales et éléments c-triables

Nous donnons une formule conjecturale pour exprimer les éléments simples des monoïdes de tresses duaux (associés aux groupes de Coxeter finis) au moyen des générateurs classiques du groupe d'Artin et en donnons une démonstration en types A, B et I. Cette formule, dont l’énoncé est uniforme, fait intervenir les éléments c-triables de Reading, où c est l’élément de Coxeter standard définissant le monoïde dual. Les éléments c-triables ont été introduits à l’origine pour construire des bijections entre les partitions non-croisées et les clusters.
Notre formule a pour conséquence immédiate que les tresses simples duales sont des tresses Mikado. Les démonstrations connues de ce dernier résultat, conjecturé dans un travail en commun avec Digne, nécessitent des réalisations topologiques des groupes d’Artin-Tits (comme expliqué dans des travaux en communs avec Digne et Baumeister) ou des catégorifications de ces derniers (comme expliqué, en types A,D et E, par les travaux récents de Licata et Queffelec). Les preuves que nous présentons ici sont entièrement combinatoires, et nous développons une approche permettant de réduire une preuve uniforme de la formule en question à une conjecture concernant les ensembles d’inversions d’éléments c-triables, que nous démontrons ensuite dans les cas mentionnés plus haut.