Conjectures de Bloch-Beilinson pour caractères de Hecke et cohomologie d'Eisenstein des surfaces de Picard

Quand la fonction L d'une courbe elliptique E sur Q s'annule au point central de son équation fonctionnelle, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit l'existence d'au moins un point rationnel de E qui ne soit pas de torsion. Dans cet exposé, je présenterai un travail en cours avec J. Bajpai, dans lequel nous nous intéressons à prouver des analogues de ces prédictions pour la fonction L de certains caractères de Hecke algébriques \phi. Dans ce cas, l'annulation de L(\phi, s) au point central devrait produire, d'après Bloch-Beilinson, des extensions non triviales de structures de Hodge, d'une forme précise. Nous construisons des candidates pour ces extensions, quand le signe de l'équation fonctionnelle est -1, à travers la cohomologie des surfaces modulaires de Picard.