Représentations homologiques des groupes de tresses soudées et des groupes de difféotopie

Une question fondamentale pour n'importe quel groupe est de savoir s'il est linéaire -- c'est-à-dire s'il agit fidèlement sur un espace vectoriel de dimension finie. Par exemple, les groupes d'automorphisme des groupes libres ne sont pas linéaires (Formanek-Procesi), alors que les groupes de tresses sont linéaires (Bigelow, Krammer) via les célèbres représentations de Lawrence-Krammer-Bigelow (LKB). La question est cependant complètement ouverte pour de nombreux groupes ayant une origine topologique, tels que les groupes de tresses soudées et les groupes de difféotopie des surfaces. Pour les groupes de ce type, les représentations homologiques constituent une source majeure de représentations grandement non triviales.

Je décrirai d'abord une construction très générale de représentations homologiques des groupes de mouvement et des groupes de difféotopie -- qui donne notamment une extension pro-nilpotente des représentations LKB des groupes de tresses, ainsi que des analogues pour les groupes de tresses soudées.

Je décrirai ensuite un analogue de la famille des représentations de Lawrence (qui généralisent les représentations LKB) pour les groupes de difféotopie des surfaces. Celles-ci dépendent du choix d'une représentation V du groupe de Heisenberg discret. Une subtilité importante est que ces représentations des groupes de difféotopie sont en général tordues, essentiellement à cause de la non-commutativité du groupe de Heisenberg discret. Néanmoins, j'expliquerai comment les détordre pour des choix particuliers de V, et aussi pour tout V si l'on se restreint au groupe de Torelli.

Cela représente plusieurs travaux en commun : avec Arthur Soulié, avec Jacques Darné et Arthur Soulié, et avec Christian Blanchet et Awais Shaukat.