Géométrie et équations différentielles au voisinage d'un nombre premier

Motivé par l'étude des variétés algébriques sur un corps fini, j'introduirais de façon informelle le langage des schémas, ce qui nous permettra de donner un sens à la notion de famille de variétés algébriques. Tout schéma vivant naturellement au-dessus de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})=\lbrace 0\rbrace\cup \lbrace\text{nombres premiers}\rbrace$, nous pourrons ainsi considérer des déformations d'une variété algébrique de caractéristique $p$. En se restreignant à des déformations infinitésimales -ce qui revient à utiliser la topologie $p$-adique-, nous entrerons alors dans le monde de la géométrie analytique $p$-adique, nous donnant ainsi accès aux outils de l'analyse et du calcul différentiel.