Double séminaire

Raphaël Pagès (Bordeaux)

Titre : Outils de géométrie algébrique appliqué à la factorisation d'opérateurs différentiels linéaires en caractéristique p.

Résumé : Nous nous intéressons au problème de la décomposition d'un opérateur différentiel linéaire donné, dont les coefficients sont des éléments d'un corps de fonctions algébriques K de caractéristique p, en produit d'opérateurs irréductibles. Nous présentons d'abord les travaux de Marius van der Put sur le sujet, notamment son usage de la p-courbure permettant de réduire le problème général à celui de la décomposition de diviseurs d'opérateurs centraux, irréductible dans le centre de l'anneau des opérateurs différentiels. Nous verrons ensuite que ce dernier problème est équivalent à la résolution d'une certaine équation, que nous nommons équation de p-Riccati, sur une extension séparable finie K_N de K. Nous montrons que la résolution de cette équation peut être accomplie en temps polynomial en p et le genre de K_N, par une utilisation combinée d'espaces de Riemann-Roch et du groupe des classes de K_N. Par ailleurs nous verrons une application du principe local-global au test d'irréductibilité, lequel peut être effectué en temps polynomial en le genre de K_N et linéaire en log(p).

Thomas Gauthier (Orsay)

Titre: Non-densité des puits spéciaux dans les familles de système dynamiques.

Résumé: Dans l’espace de toutes les fractions rationnelles d’un degré donné de la droite projective, les paramètres PCF, c'est-à-dire ceux pour lesquels les points critiques sont prépériodiques sous itération, forment un ensemble Zariski dense et jouent le rôle de points spéciaux dans cet espace, au même titre que les courbes elliptiques CM sont les points spéciaux dans la courbe modulaire.

Dans cet exposé, nous introduirons certaines motivations arithmétiques et dynamiques pour l’étude de ces fractions rationnelles, puis nous aborderons la question de l’adaptation de ce résultat en dimension supérieure. Dans un travail récent en commun avec Johan Taflin et Gabriel Vigny, nous montrons que les paramètres PCF ne sont pas Zariski denses dans l’ensemble de tous les endomorphismes de l’espace projectif P^k, k>1, d’un degré donné. Je tenterai de montrer en quoi il s’agit d’un résultat de nature arithmétique  et je présenterai également une version quantifiée de ce résultat dans un cas particulier.