Double séminaire (Amoroso 10h30 + Tamiozzo 14h)

Francesco Amoroso (10h30)

Titre : Propriété de Bogomolov et formes modulaires (travail en cours en collaboration avec Lea Terracini, Torino).

Résumé : on s’intéresse à étudier les extensions algébriques dans lesquelles la propriété (B) est satisfaite : zéro n’est pas une point d’accumulation pour la hauteur de Weil (on remarquera que h(2^(1/n))=(log 2)/n -->0).

On dispose d’une machine qui permet de lier certaines propriétés galoisiennes (ordre du centralisateur d’un Frobenius,
longueur de la suite des groupes de ramification, …) à la minoration de la hauteur, via la preuve de certaines inégalités métriques.

Cette machine à été d’abord conçue pour montrer que les extensions abéliennes d’un corps de nombres ont la propriété (B). Par Kronecker-Weber, l’extension abélienne maximale des rationnelles s’obtient en ajoutant les racines de l’unité, i.e. les points de torsion du groupe multiplicative. Si l’on remplace le groupe multiplicatif par une courbe elliptique, on obtient à nouveau un corps ayant la propriété (B), pourvu qu’il existe un premier p satisfaisant certaines propriétés qui portent sur la représentation galoisienne des points de torsion, propriétés qui sont satisfaite pour une infinité de premiers par le théorème de l'image ouverte de Serre et par un théorème d’Elkies sur les premiers supersinguliers.

Nous nous intéressons ici à réinterpréter et généraliser ces résultats en terme de formes modulaires. Une construction due à Shimura et Deligne attache à une forme modulaire une famille de représentations galoisiennes compatibles. Leur produit définit un morphisme continu du groupe de Galois absolu à valeur dans GL_2 du complètement profini de l’anneau des entiers du corps de nombres engendré par les coefficients de la forme. On s’intéresse alors au corps laissé fixe par le noyau de ce morphisme et on conjecture que ce corps a la propriété (B).

On montre cette conjecture dans le cas particulier d’une forme de poids 2 (par Shimura-Taniyama-Weil c'est le cas d’une courbe elliptique), en supposant l’existence d’un premier p qui satisfait les hypothèses analogues aux précédentes.

Matteo Tamiozzo (14h)

Titre : Sur la visibilité des classes de Tate-Shafarevich

Résumé : Je donnerai une introduction à la théorie de la visibilité des classes de Tate-Shafarevich, développée par Mazur et Agashe-Stein. Ensuite, j’expliquerai la démonstration de certains cas d’une conjecture de Jetchev-Stein, qui prédit que, pour toute courbe elliptique sur Q, les classes de Tate-Shafarevich sont visibles dans la jacobienne d’une courbe modulaire.