Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions

En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels x ≥ 2, il y a plus de nombres premiers ≤ x congrus à 3 modulo 4 que de nombres premiers ≤ x congrus à 1 modulo 4. Plus généralement, il a été observé que pour q entier fixé > 2, si a est un non-résidu quadratique modulo q et b est un résidu quadratique modulo q alors, pour la plupart des réels x > 2, il y a une prédominance des nombres premiers ≤ x de la forme qn + a par rapport aux nombres premiers ≤ x de la forme qn + b. Ce phénomène, dit biais de Tchebychev, a été prouvé conditionnellement par M. Rubinstein et P. Sarnak. Depuis, plusieurs généralisations ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Lamzouri. Il existe une analogie profonde entre l’ensemble Z et l’ensemble Fq[T] de polynômes à coefficients sur le corps Fq[T] (où q est une puissance d’un premier > 2). En utilisant cette analogie, B. Cha a prouvé que le biais de Tchebychev persiste pour les polynômes irréductibles unitaires sous une certaine hypothèse. Il a aussi découvert inconditionnellement certains exemples de courses où les biais se comportent différemment de ceux des nombres premiers. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats récents relatifs aux courses des polynômes irréductibles à un nombre de compétiteurs r ≥ 2.