Motifs quasi-unipotents, cycles proches et géométrie non archimédienne

 J. Ayoub a montré que l’on disposait dans le monde motivique de la théorie des cycles proches initialement développée par J. Milnor et A. Grothendieck en topologie puis en cohomologie étale. L’un des objets d’étude fondamental de la théorie classique est l’opérateur de monodromie dont la quasi-unipotence a été conjecturée par Milnor pour les singularités isolées et prouvée par Grothendieck. Dans cet exposé, je donnerai un survol de la théorie des cycles proches dans le monde motivique au travers du prisme de la notion de motifs quasi-unipotents introduite par Ayoub dans ses travaux sur les motifs rigides et les groupes de Galois motiviques. Cela nous amènera à parler d’une part des liens avec la géométrie non archimédienne et les travaux de Berkovich et d’autre part des relations avec les constructions de J. Denef et F. Loeser qui utilisent l’intégration motivique. Il s’agit de travaux en commun avec J. Ayoub et J. Sebag.