Pré-soutenance

Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une
structure combinatoire particulière.
Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées
entre elles par une opération appelée mutation.
Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois.
Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de
drapeaux associée à un groupe linéaire
algébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de
cellules de Schubert respectivement à deux sous-
groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang
maximal sur l’anneau de coordonnées
d’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette
sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneau
entier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une
catégorie de Frobenius $\C_{v,w}$ de modules sur
l’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories
$\C_w$ et $\C_v$ déjà étudiées par Geiss, Leclerc,
Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres
amassées et les structures amassées est donné
par le caractère d’amas défini dans [GLS06].
Dans cette thèse, nous construisons un algorithme qui, étant donné les
paramètres définissant une variété de
Richardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la
catégorie de Frobenius associée et son
carquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour
la structure amassée sur $\C_w$ définie
par un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais
d’une suite de mutations déterminée
combinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module
rigide maximal de $\C_w$ qui, à suppression
de certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de
$\C_{v,w}$ . De plus le sous-carquois du carquois
muté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module
rigide maximal de $\C_{v,w}$ donnant alors la description complète d’une
graine initiale pour la structure amassée de $\C_{v,w}$ .