Sur les conjectures de Zagier-Hoffman en caractéristique positive

Dans cet exposé, nous expliquons les analogues de Todd-Thakur des conjectures de Zagier-Hoffman en caractéristique positive. Ces conjectures prédisent la dimension et une base explicite $T_w$ de l'espace vectoriel $Z_w$ engendré par des multizêta de poids fixe $w$ qui ont été introduites par Thakur comme analogues des multizêta classiques d'Euler.

Nous présentons quelques résultats. D'abord, nous démontrons la partie algébrique de ces conjectures qui stipule que $Z_w$ est engendré par l'ensemble $T_w$. Comme corollaire, nous obtenons une borne supérieure pour la dimension de $Z_w$. C'est l'analogue du théorème de Brown et aussi ceux de Deligne-Goncharov et de Terasoma. Puis pour les petits poids, nous prouvons l'indépendance linéaire pour l'ensemble $T_w$ et résolvons complètement les conjectures de Zagier-Hoffman en caractéristique positive. Notre outil clé est le critère Anderson-Brownawell-Papanikolas pour l'indépendance linéaire en caractéristique positive.