Groupes de Galois différentiels associés aux EDOs à un paramètre

La théorie de Galois différentielle a pour objectif d'étudier les EDOs linéaires à l'aide de la théorie des groupes algébriques. De façon résumée et explicite, à une matrice $A \in {\rm Mat}(\mathbf C(x))$ et un système différentiel $y'=Ay$, on associe un sous-groupe algébrique ${\rm GL}_n(\mathbf C)$, le groupe de Galois différentiel, qui mesure la complexité des solutions. Il y a trois chemins vers cette théorie : les extensions de Picard-Vessiot, la monodromie ou les catégories tannakiennes. 

Si au lieu de travailler avec des coefficients complexes on a affaire à un anneau de valuation discrète $R$, la construction du groupe de Galois différentiel devient moins évidente et le point de vue des groupes doit forcément faire place aux schémas en groupes. Ceci met en avant les catégories tannakiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai comment associer à ces équations des schémas en groupes, quelles propriétés ces derniers peuvent avoir, et comment les calculer dans certains cas à l'aide de la monodromie. L'exposé est basé sur plusieurs articles (en collaboration avec P. H. Hai et N. D. Duong).