Confluence d'équations différentielles p-adiques

Nous présentons un article d'Yves André et Lucia Di Vizio sur les équations aux $q$-différences et la monodromie $p$-adique.

La théorie des équations aux $q$-différences est apparue il y a longtemps avec les travaux de Birkhoff. Plus récemment, dans les années 90, elle a connu un développement important grâce à Ramis et ses étudiants. Le but de cette théorie est très concret : il s'agit de discrétiser une équation différentielle pour la rendre plus facile à manipuler. Ce faisant, on aimerait comparer les solutions de l'équations discrétisée à celles de l'équation originale. Du côté des mathématiques pures, on attaque ce problème via la théorie de Galois différentielle, qui fournir une façon abstraite de coder l'information sur la nature des solutions d'une équation différentielle. Dans le cadre complexe, la situation est bien comprise depuis 2010. Dans le cadre $p$-adique, Yves André et Lucia Di Vizio ont obtenu une équivalence entre les deux théories, montrant qu'une équation différentielle et son $q$-analogue ont même groupe de Galois différentiel.