Arithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques

Lorsqu'on complète le corps $\mathbb Q$ des rationnels pour la valeur absolue usuelle, on obtient le corps  des nombres réels $\mathbb R$. Mais il existe d'autres valeurs absolues sur $\mathbb Q$, de nature plus arithmétique : à chaque nombre premier $p$ est associé une valeur absolue dite $p$-adique, et le complété correspondant $\mathbb Q_p$ est appelé corps des nombres $p$-adiques.
Dans un premier temps nous présenterons en détail ces corps de nombres $p$-adiques, décrirons leurs propriétés algébriques et topologiques,  et évoquerons certaines de leurs applications à des questions arithmétiques.  Puis nous aborderons la question de la géométrie sur ce type de corps, les problèmes posés par une approche trop naïve et les différentes façons d'y remédier ;  et nous terminerons par quelques mots sur un développement majeur très récent du sujet : la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.