Deux exemples d'algèbres de Hopf d'extraction-contraction : mots tassés et diagrammes de dissection

Une algèbre de Hopf est un espace vectoriel muni d'une structure de bigèbre (i.e. d'algèbre et de cogèbre avec une propriété de compatibilité supplémentaire) et possédant une application particulière appelée antipode. Dans le cas d'un espace gradué et connexe, la condition d'existence de l'antipode est automatique.

Pendant mon doctorat, j'ai étudié deux algèbres de Hopf combinatoires particulières possédant toutes les deux un coproduit d'extraction-contraction. L'objectif de cet exposé est de présenter les résultats qui en ont découlés. Je me suis d'abord intéressée à l'algèbre de Hopf de mots tassés $\mathbf{WMat}$ introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa en informatique théorique. J'ai pu expliciter certains sous-objets et objets quotients et les relier avec des algèbres de Hopf connues. Mon deuxième objet d'étude concerne les diagrammes de dissection introduits par Dupont en théorie des nombres. Je me suis intéressée à la structure de cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré $3$ ne permet pas de conclure. Le cas du degré $5$ permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de la cogèbre vaut $-1$. Il est possible de munir les diagrammes de dissection d'une structure d'algèbre pré-Lie. La sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré $1$ n'est pas libre. Ainsi l'algèbre pré-Lie des diagrammes de dissection n'est pas libre non plus.