(MSC 20F36, 20N02, 57M25, 57M60) The braids of B_infty can be equipped with a selfdistributive operation enjoying a number of deep properties. This text is a survey of known properties and open questions involving this structure, its quotients, and its extensions.
(MSC 20N02) We survey a few of the many results now known about the selfdistributivity law and selfdistributive structures, with a special emphasis on the associated word problems and the algorithms solving them in good cases.
(MSC 20F36) We explain in detail how the classical Hurwitz action of n-strand braids on length-n sequences in a rack can be extended to the case of shelves that are not racks at the expense of obtaining a well-defined but partial action. The main tools are braid word transformations called left- and right-reversing.
(MSC 20M05, 20F36, 68Q42, 20F10) Starting from the seminal example of the greedy normal norm in braid monoids, we analyze the mechanism of the normal form in a Garside monoid and explain how it extends to the more general framework of Garside families. Extending the viewpoint even more, we then consider general quadratic normalisation procedures and characterise Garside normalisation among them.
(MSC 57M25, 03E55, 03F30, 06F15, 20F10, 20F36) In connection with his interest in selfdistributive algebra, Richard Laver established two deep results with potential applications in low-dimensional topology, namely the existence of what is now known as the Laver tables and the well-foundedness of the standard ordering of positive braids. Here we present these results and discuss the way they could be used in topological applications.
(MSC 20B30, 20F55, 20F36) We summarize the main known results involving subword reversing, a method of semigroup theory for constructing van Kampen diagrams by referring to a preferred direction. In good cases, the method provides a powerful tool for investigating presented (semi)groups. In particular, it leads to cancellativity and embeddability criteria for monoids and to efficient solutions for the word problem of monoids and groups of fractions. The text includes some new results about mixed reversing (combination of left- and right-reversings) and about the combinatorial distance of braids.
We survey two of the many aspects of the standard braid order, namely its set theoretical roots, and the known connections with knot theory, including results by Netsvetaev, Malyutin, and Ito, and very recent work in progress by Fromentin and Gebhardt.
En 1874, Georg Cantor publie dans le journal de Crelle un article où il démontre qu'il n'existe pas plus de nombres algébriques que de nombres entiers mais que, par contre, il existe strictement plus de nombres réels. Cet article est révolutionnaire car, pour la première fois, l'infini est considéré non plus comme une limite inatteignable mais comme un possible objet d'investigation. Sa descendance est extraordinaire: non seulement il marque la naissance de la théorie des ensembles - en fait une théorie de l'infini - mais il contient déjà en germe le problème du continu qui a occupé toute la fin de la vie de Cantor, et a été et continue d'être le moteur du développement d'une théorie qui a été un temps objet d'une fascination déraisonnable reposant sur un malentendu et est aujourd'hui largement méconnue.
Various algebraic and topological solutions to the Braid Isotopy Problem are described, with complete self-contained proofs.
Chapter 1: Braids, Chapter 2: Presentation of braid groups, Chapter 3: Using monoids, Chapter 4: The Artin representation, Chapter 5: The Dynnikov formulas, Chapter 6: Handle reduction, Chapter 7: The greedy normal form.
Le problème d'isotopie des tresses est la question de reconnaître si deux diagrammes de tresse peuvent être déformés continûment l'un en l'autre. C'est un problème de difficultée moyenne : ni trop facile - aucune solution n'est triviale - ni trop difficile - des solutions explicites existent. On présente quelques-unes des (très) nombreuses solutions connues à ce jour, l'intérêt principal étant la multiplicité des approches possibles - algébriques, géométriques, topologiques, etc. - et la diversité des solutions qui en résultent.
We describe the most efficient solutions to the word problem of Artin's braid group known so far, i.e., in other words, the most efficient solutions to the braid isotopy problem, including the Dynnikov method, which could be especially suitable for cryptographical applications. Most results appear in literature; however, some results about the greedy normal form and the symmetric normal form and their connection with grid diagrams may have never been stated explicitly.
We give a proof for the convergence of the handle reduction algorithm of braids that is both more simple and more precise than the ones available in literature. The prerequisites are Garside's theory of positive braids, and one technical result about Artin's representation of braids.
La théorie des ensembles est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles, spécialement les ensembles infinis, à la façon dont l'arithmétique étudie les nombres entiers ou la géometrie les points, les droites et les cercles. Elle est apparue à la fin du XIXe siècle avec les travaux de Cantor, et a donné lieu depuis cette époque à un développement remarquable qui en fait aujourd'hui l'une des branches les plus sophistiquées. Placée un temps à la base de l'édifice mathématique en raison de la possibilité d'y représenter la plupart des objets usuels, la théorie des ensembles occupe aujourd'hui une position plus discrète, notamment parce que ses applications aux autres domaines demeurent relativement modestes. Pour autant, l'importance de ses enjeux intellectuels reste intacte, et les récentes avancées en direction d'une solution au problème du continu constituent des resultats fascinants tant pour le mathématicien que pour le philosophe.
Chapitre 1 : Le type ensemble, Chapitre 2 : Les ordinaux, Chapitre 3 : Le système ZF, Chapitre 4 : L'axiome du choix, Chapitre 5 : Les cardinaux, Chapitre 6 : Logique propositionnelle, Chapitre 7 : Logique du premier ordre, Chapitre 8 : Théorèmes de limitation, Chapitre 9 : Modèles de ZFC, Chapitre 10 : Les ensembles constructibles ; Devoir, Examen 2005, Examen 2006, Examen 2007.
This paper reviews some results involving arc colourings in a braid or a link diagram. The left self-distributivity idendity then appears as an algebraic counterpart to Reidemeister move of type III. Using classical and less classical self-distributive operations leads to a number of different results, as well as to many open questions.
Ce texte présente des développements récents de la théorie des ensembles, et en particulier des résultats de H. Woodin sur l'hypothèse du continu. On y introduit la notion de vérité essentielle d'une propriété, qui apparait comme une des possibilités les plus prometteuses pour dépasser les limitations induites par la méthode du forcing de Cohen. Par ailleurs, on discute brièvement le caractère de vérité d'un axiome tel que l'axiome de détermination projective.
We survey some of the recently developed cryptographic schemes involving Artin's braid groups, as well as the attacks against these schemes. We also point out some hints for future work.
Les travaux récents de Woodin ont considérablement renouvelé la théorie des ensembles en lui apportant une intelligibilité globale et en restaurant son unité. Pour la première fois, ses résultats ouvrent une perspective réaliste de résoudre le problème du continu, et, à tout le moins, ils établissent le caractère irréfutablement signifiant et précis de celui-ci.
Woodin's recent work has considerably renewed set theory by restoring its unity and making the domain more globally intelligible. For the first time, his results open a realistic perspective to solve the Continuum Problem, and, at the very least, they show that the latter is an unquestionably meaningful and precise question.
It has been observed for many years that computations with elementary embeddings entails some purely algebraic features (as opposed to the logical nature of the embeddings themselves). The key point is that the operation of applying an embedding to another one satisfies (when defined) the self-distributivity law $x(yz) = (xy)(xz)$. Using the specific properties of the elementary embeddings and their critical ordinals, hence under some large cardinal hypotheses, R. Laver established two purely algebraic results about sets equipped with a self-distributive operation (LD-systems), namely the decidability of the associated word problem (in 1989), and the unboundedness of the periods in some finite LD-systems (in 1993). The large cardinal assumption was eliminated from the first result by Dehornoy in 1992, using an alternative argument that directly led to unexpected results about Artin braid groups; as for the second of Laver's results, no proof in ZF has been discovered so far, and the only result known to date is that it cannot be proved in Primitive Recursive Arithmetic.
(AMS: 20F36, 20N02) This paper is a survey of recent work about the action of braids on self-distributive systems. We show how the braid word reversing technique allows one to use new self-distributive systems, leading in particular to a natural linear ordering of the braids.
Les applications traditionnelles de la théorie concernent généralement des objets très grands et très compliqués. Le problème de la classification des tresses est d'un style très différent, puisqu'il ne met en jeu que des objets très simples et "concrets": les tresses, configurations finies formées de brins qui se croisent par dessus ou par dessous, et leurs transformations consistant à déplacer des brins sans qu'ils se traversent l'un l'autre. Pourtant, il se trouve que la solution la plus efficace connue à ce jour pour ce problème provient directement de travaux sur les grands cardinaux en théorie des ensembles. On décrit ici le passage d'une théorie à l'autre, en montrant comment les intuitions issues de l'étude des grands ensembles ont pu mener naturellement à des algorithmes de tresse spécialement performants en révélant une structure jusqu'alors cachée.
(AMS: 20F36, 20N02, 03E55, 57M25) This text presents some recent developments in left distributive algebra induced by set theory and their applications to the combinatorics of braids mainly in terms of order properties and existence of special decompositions.