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Résumé : Les théorèmes de finitude classiques en géométrie algébrique et arithmétique concernent les variétés abéliennes et les cycles de codimension 1 : théorèmes de Mordell-Weil, de Mordell-Weil-Néron, de Roquette, de Néron-Severi et de Lang-Néron. Les trois premiers concernent des situations arithmétiques et les deux derniers des situations géométriques, c'est-à-dire valables sur un corps de base quelconque. Tous ces théorèmes ont des démonstrations originelles remontant à l'idée de base de Weil : la hauteur sur une variété abélienne définie sur un corps de nombres. J'expliquerai comment, en utilisant le théorème des altérations de de Jong, on peut donner de nouvelles démonstrations des quatre derniers et ainsi séparer assez clairement l'apport de l'arithmétique et celui de la géométrie dans ces théorèmes.

Abstract : Interest in the classical subject of orderable groups has intensified since the discovery that braid groups can be given a left-invariant ordering. Order properties of many other groups that arise in topology have interesting applications; in particular the fundamental groups of manifolds. I will give an overview of this interesting interaction between topology, group theory and ordered structures, including a new result regarding foliations of 3-dimensional manifolds.

Résumé : On doit la découverte des spineurs à Élie Cartan en 1913. Il a fallu plus de trente ans aux mathématiciens pour prendre vraiment au sérieux les champs de spineurs, après que les physiciens, en suivant leur introduction par Paul-Adrien-Maurice Dirac en 1928, leur a donné une place centrale dans les modèles de théorie des particules. Il leur a fallu encore trente ans pour qu'ils étudient en profondeur leur contenu géométrique.
Dans les quinze dernières années, beaucoup de choses se sont passées de ce point de vue : des questions fondamentales ont été résolues, des champs de spineurs spéciaux étudiés en détail et leur signification géométrique élucidée.
La conférence a pour objectif de présenter cette aventure, et comment l'interaction avec les questions les plus actuelles de la physique ont joué (à nouveau) un rôle crucial dans les nouveaux développements.

Résumé (pdf) : Étant donnée une variété algébrique X définie sur un corps fini F_q, on peut considérer les points rationnels de X sur une extension arbitaire F_{q^n}. D'après des résultats de Weil, Grothendieck et Deligne, le nombre de ces points vérifie

où ε_1, ..., ε_r sont des signes, et α_1, ..., α_r sont des nombres algébriques dont la valeur absolue est une puissance entière positive de q^{1/2}.
L'exposé présentera ces résultats, puis ceux d'un travail en commun avec E. Peyre où nous avons considéré les variétés homogènes, c'est-à-dire telles qu'il existe un groupe algébrique G défini sur F_q et opérant dans X de sorte que l'opération de G(\overline F_q) sur X(\overline F_q) soit transitive.
On peut se ramener au cas où G est soit une variété abélienne, soit un groupe algébrique linéaire. Dans le second cas, nous montrons que les α_i sont des produits de racines de l'unité par des puissances entières positives de q. Autrement dit, |X(F_{q^n})| est un «polynôme périodique» en q^n. De plus, le polynôme périodique «décalé», obtenu en remplaçant formellement q^n par q^n + 1, a tous ses coefficients positifs.