Compter les points rationnels sur les variétés avec un grand groupe fondamental

D’après Faltings, une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres $K$ n’a qu’un nombre fini de points $K$-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont "beaucoup moins" que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental grand (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins" de points que les variétés de Fano.