Γ-supercyclicité

Soient $X$ un espace de Banach, $T\in\mathcal{L}(X)$ un opérateur linéaire borné,  et $\Gamma\subset{\mathbb C}$.  L'opérateur $T$  dit hypercyclique s'il existe  $x\in X$ dont l’orbite sous l’action de $T$, i.e., $Orb(x,T)=\{T^nx: n\in {\mathbb N}\}$,  est dense dans $X$. Plus généralement, on dit que  $T$  est $\Gamma$-supercyclique s'il existe  $x\in X$ tel que  $Orb(\Gamma x, T):= \{\lambda T^nx: \lambda\in\Gamma, n \in {\mathbb N}\}$ est dense dans $X$. Pour que  $T$ soit hypercyclique il suffit qu'il existe $x\in X$   tel que l'une des deux conditions suivantes soit satisfaite :

• la fermeture de $Orb(x,T)$ contient un ouvert non vide (Bourdon-Feldman, 2003).
• l'ensemble $Orb(\mathbb{T}x,T) := \{\lambda T^nx : \lambda\in \mathbb{T}, n\in {\mathbb N}\}$ est dense dans $X$ (León-Müller, 2004).

Ces résultats remarquables ont été généralisés en 2016 par Charpentier-Ernst-Menet dans le sens suivant : ils ont caractérisé les sous-ensembles $\Gamma \subset\mathbb{C}$ qui vérifient  l'une ou l'autre des deux propriétés suivantes :

• $P_1$ : si $Orb(\Gamma x,T)$ est quelque part dense dans $X$, alors $T$ est hypercyclique.
• $P_2$ : si $Orb(\Gamma x,T)$ est  dense dans $X$, alors $T$ est hypercyclique.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à ces résultats et leurs versions semigroupes.