Promenade dans le monde des formes quadratiques en deux variables et à coefficients entiers

Mercredi, 27. janvier 2021 - 11:00 - 12:00
Orateur: 

William Dallaporta

Résumé: 

Pour résoudre les équations diophantiennes du type q(x,y) = n, où n est un entier donné et q est une forme quadratique à coefficients entiers, Gauss a longuement étudié les formes quadratiques dans ses Disquisitiones Arithmeticae. Lorsqu'on fixe le discriminant \Delta, qu'on impose aux coefficients d'être premiers entre eux, et qu'on considère leurs classes d'équivalence sous l'action de SL_2(Z), il leur a trouvé une structure de groupe. Groupe qui est en réalité isomorphe au groupe de classes d'idéaux d'une extension quadratique de Z (celle qui est de même discriminant), comme l'a établi Dirichlet. Le groupe de classe est un objet arithmétique de premier plan mais difficile à contrôler, et nous verrons dans cet exposé comment ce lien permet de déduire des informations à son sujet. D'un autre côté, nous utiliserons la représentation très visuelle de Conway des formes quadratiques à coefficients entiers pour résoudre algorithmiquement l'équation diophantienne q(x,y) = n.