Sous-groupes paraboliques des groupes d'Artin-Tits et des groupes de tresses complexes

(Avec Ivan Marin, María Cumplido, Volker Gebhardt et Bert Wiest.) Le complexe de courbes est un objet géométrique classique associé à une surface donnée. Le groupe modulaire de la surface (groupe d'automorphismes modulo déformation) agit sur le complexe de courbes par isométries, et ça permet de montrer des propriétés algébriques du groupe. Cela s'applique au cas particulier des groupes de tresses.

 Les groupes d'Artin-Tits sont une généralisation algébrique naturelle des groupes de tresses. Ceux de type sphérique partagent beaucoup de propriétés avec les groupes de tresses, mais un tel group ne peut pas être vu, en général, comme le groupe modulaire d'une surface. Néanmoins, on verra qu'il existe un analogue algébrique du complexe du courbes, un espace géométrique sur lequel un groupe d'Artin-Tits de type sphérique agit par isométries : le complexe des sous-groupes paraboliques irréductibles.  Dans cet exposé on introduira cet objet, et on montrera que l'intersection de sous-groupes paraboliques est un sous-groupe parabolique (une vieille conjecture), et que ces sous-groupes forment un treillis par rapport à l'inclusion. On donnera une preuve plus simple que la preuve originale, et on verra comment on peut utiliser ces techniques pour montrer l'existence de la clôture parabolique d'un élément donné dans quelques groupes de tresses complexes.