Le problème inverse de Galois sur le corps gauche des fonctions rationnelles (d'après G.Alon - B.Deschamps - F.Legrand - E.Paran)

Comme dans le cas commutatif, on peut définir pour un corps gauche $H$ donné l'anneau des fonctions polynomiales à coefficients dans $H$, noté $H[x]$, comme l'ensemble des fonctions $f:H\longrightarrow H$ qui peuvent s'écrire par une équation polynomiale du style $f(x)=a+axb+cxd+exfxg+hx^2ixjxkx^{17}$. De manière plus précise, $H[x]$ est le quotient de l'algèbre libre non commutative $H\hskip -1mm<\hskip -1mm X\hskip -1mm>$ par l'idéal composé des éléments dont la fonction d'évaluation associée est nulle (lorsque $H$ est commutatif on retombe bien sur la notion classique de fonctions polynômes). L'anneau $H[x]$ est un anneau de Ore et il possède donc un unique corps de fractions, noté $H(x)$, appelé corps des fonctions rationnelles à coefficients dans $H$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment, à partir des résultats établis par Deschamps et Legrand sur les corps de fractions tordus à indéterminée centrale, on peut montrer que si $H$ est de dimension finie sur son centre $k$ et que si $k$ contient un corps ample, alors le problème inverse de Galois admet une réponse positive sur le corps $H(x)$. Ce résultat est l'exact analogue de ce que l'on sait lorsque $H$ est commutatif.