Introduction aux espaces perfectoïdes

Dans les années 60, John Tate introduit la géométrie rigide. Son but est de développer un analogue arithmétique de la géométrie complexe : la géométrie analytique p-adique. Depuis, plusieurs versions de tels espaces ont été découvertes, comme les espaces adiques de Huber ou encore les espaces de Berkovich. Dans sa thèse de doctorat publiée en 2012, Peter Scholze introduit une catégorie particulière de ces espaces analytiques : les espaces perfectoïdes. Ils sont définis comme des espaces adiques particuliers et leur première propriété fondamentale est de pouvoir basculer d'un espace en caractéristique nulle à un espace en caractéristique p tout en conservant les propriétés géométriques. Depuis, la théorie de Scholze a eu de très nombreuses applications et a inspiré la découverte de plusieurs autres notions : diamants, prismes, etc. Ces travaux ont valu à Scholze d'obtenir une médaille Fields au cours du congrès international de 2018. Dans cet exposé, on commencera par introduire quelques topologies usuelles sur des anneaux afin de donner les bases de la théorie des espaces adiques. On verra ensuite comment définir un espace perfectoïde ainsi que son basculé.