Groupes de Galois et groupes de classes d'idéaux

Il y a une question encore ouverte à l'heure actuelle qui est la suivante : pour G un groupe abélien fini, existe-t-il un corps de nombres tel que son groupe de classes d'idéaux soit isomorphe à G? Dans cet exposé, nous verrons d'abord quelques notions sur la ramification et la théorie du corps de classes. Ensuite nous verrons quelques cas particuliers, comme lorsque G est un p-groupe (théorème de Yahagi) ou si l'on s'intéresse au groupe de classes d'idéaux des S-entiers de K plutôt qu'au groupe de classes d'idéaux des entiers de K(théorème de Perret). Nous terminerons par une étude non plus sur les corps de nombres mais sur les corps de fonctions sur un corps fini avec le théorème de Anglès et le théorème de Perret.