Sur l'écriture d'un nombre réel dans des bases différentes

Jeudi, 20. décembre 2018 - 17:00 - 18:00

Amphithéâtre S3 045

Orateur: 

Yann Bugeaud (Université de Strasbourg)

Résumé: 

Soit b un entier au moins égal à 2. Un nombre réel x est normal en base b si, pour tout entier k,  tout bloc de longueur sur l’alphabet {0, 1, … , b-1} apparaît dans le développement en base b de x avec la fréquence 1/b^k. Soient r et s deux nombres entiers multiplicativement indépendants. Vers 1960, Cassels et Schmidt, indépendamment, ont montré l'existence  de nombres réels normaux en base r qui ne sont pas normaux en base s. Nous donnons brièvement les idées de la démonstration, puis  nous prouvons que si le développement en base r d'un nombre réel irrationnel est une suite sturmienne sur l'alphabet {0, 1, ... , r-1}, alors  son développement en base s n'est pas une suite sturmienne sur l'alphabet {0, 1,... , s-1}.  Les propriétés des suites sturmiennes et les fractions continues jouent un rôle  important dans la démonstration, qui fait également appel au théorème du sous-espace de  Schmidt.