Mesures de Mahler modulaires

Vendredi, 5. octobre 2018 - 14:00 - 15:00
Orateur: 

François Brunault (ENS Lyon)

Résumé: 

La mesure de Mahler (logarithmique) d'un polynôme $P$ en $n$ variables est
définie comme la moyenne de $\log |P|$ sur le tore $T^n$ de dimension $n$ dans
$C^n$. Pour un polynôme en une variable à coefficients entiers, la mesure
de Mahler est le logarithme d'un entier algébrique. Pour les polynômes
en plusieurs variables, les travaux de Smyth, Boyd, Deninger, Rodriguez
Villegas... ont notamment conduit à des conjectures reliant certaines
mesures de Mahler à des valeurs de fonctions $L$. Ces identités ont été
vérifiées numériquement, mais ne sont en général prouvées que dans un
nombre fini de cas. Récemment, Rogers et Zudilin ont introduit une
nouvelle méthode pour calculer la mesure de Mahler d'un polynôme $P(x,y)$
lorsque la courbe plane définie par $P$ est revêtue par une courbe
modulaire, plus précisément est paramétrée par des unités modulaires.
J'expliquerai un travail récent avec Michael Neururer où nous
généralisons cette méthode pour certains polynômes $P(x,y,z)$ définissant
des surfaces elliptiques modulaires. Nous retrouvons ainsi un théorème
de Bertin pour la mesure de Mahler du polynôme $x+1/x+y+1/y+z+1/z+2$.
J'esquisserai enfin une approche analogue pour certaines variétés de
Calabi-Yau de dimension 3 de nature modulaire.