Quantales MIX *-autonomes et l'ordre faible continu

L'ensemble des permutations sur une ensemble fini possède la structure de treillis connue comme l'ordre faible de Bruhat.

Cette structure s'étend aux mots sur un alphabet fini  $Σ = \{ x, y, z, . . . \}$ tels que chaque lettre a un nombre fixé d'occurrences. Ces treillis sont connus comme "treillis multinomiaux" et, quand $card(Σ) = 2$, comme "treillis de chemins dans le réseau" (lattices of lattice path). Si on interprète les lettres $x, y, z, . . .$ comme des axes, ces mots peuvent se voir comme des chemins discrets sur une grille dans un cube de dimension $d = card(Σ)$.

Dans cet exposé j'expliquerai comment étendre cet ordre aux (images des) chemins continus croissants de l'intervalle $[0,1]$ vers le cube $[0,1]^d$ (qui préservent les extrémités $0$ et $1$). On obtient ainsi un treillis noté $L_d([0,1])$ ; l'outil clé de cette construction est le quantal (ou treillis résidué involutif) $L_∨([0,1])$ des fonctions sup-continues (cad, croissantes continue à gauche) de l'intervalle $[0,1]$ vers lui même. Il s'agit d'un quantal (treillis résidué) cyclique *-autonome (involutif),  qui satisfait la règle MIX.

Nous exposerons la structure des treillis $L_d([0,1])$ : ils sont auto-duaux, engendrés par sups par les éléments sup-irréductibles, il ne possèdent pas des éléments complétement sup-irréductibles. Quand $d = 2$, $L_d([0,1]) = L_∨([0,1])$ est la complétion de Dedekind-MacNeille des chemins discrets avec sauts rationnels. Quand $d ≥ 3$, cette propriété n'est plus vraie, mais chaque élément de $L_d(I)$ est un sup d'infs des chemins avec sauts rationnels.