Courses de nombres premiers et théorème de Chebotarev

Un phénomène bien connu en théorie des nombres premiers et portant le nom de
« biais de Chebyshev » est la prédominance, pour « la plupart » des nombres réels
$x > 0$, du nombre de premiers $< x$ et congrus à 3 modulo 4 par rapport au nombre
de premiers $< x$ et congrus à 1 modulo 4. Dans les années 90, Rubinstein et Sarnak
ont donné un cadre très général d'étude pour des généralisations naturelles de la
question de Chebyshev et ont mis en avant le rôle joué par la connaissance des zéros
des fonctions L rentrant en jeu, et leur propriété éventuelle d'indépendance linéaire
sur Q. 

Je présenterai un travail en cours, en commun avec Daniel Fiorilli, dans lequel on
étudie une variante du phénomène de biais de Chebyshev. Le rôle du théorème des
nombres premiers dans les progressions arithmétiques est joué par le théorème de Chebotarev.
On verra d'une part que le phénomène de biais est « génériquement absent »
et d'autre part des familles de corps de nombres donnant lieu à un biais extrême.