Variété des caractères quantiques et théories topologiques des champs

Le but de cet exposé est de présenter une série de résultats obtenus avec différent co-auteurs autour d'un même thème. On montre qu'à la catégorie des modules sur un groupe quantique, on peut associer une certaine TQFT en dimension 3 "categorifiée". Cette tqft associe donc des catégories aux surfaces, éventuellement à bord, et des espaces vectoriels, ou plus généralement des objets de ces catégories, aux variétés de dimension 3. Ces catégories sont des déformation des catégories de faisceaux sur les variétés de caractères, et l'un de nos principaux résultats en est une description explicite utilisant le formalisme de l'homologie de factorisation introduit par Lurie. On retrouve en particulier de façon purement topologique un certain nombre d'exemples importants d'algèbres quantiques, qui quantifient la structure de Poisson d'Atiyah-Bott sur les variétés de caractères, et produisent des représentations des groupes de tresses de surface et de leurs mapping class groups. J'expliquerai ensuite comment étendre cette construction en dimension 3, ainsi que ses relations conjecturales avec un certain nombre de construction en théorie des noeuds (théorie de Reshetikhin-Turaev, modules de skein, etc..).