Graphes de germes et homomorphismes entre groupes pleins-topologiques

À toute action d'un groupe sur un espace compact, et plus généralement à tout groupoïde étale, on peut associer un groupe dénombrable appelé son groupe plein-topologique. Il s'agit du groupe de tous les homomorphismes dont les germes au voisinage de tout point sont prescrits par l'action de depart. Sous certains conditions ce groupe est un invariant complet du groupoïde de germes sous-jacent : tout homomorphisme entre groupes pleins-topologiques est induit par un isomorphisme entre les groupoïde correspondants. Dans cet exposé on s'intéresse à comprendre comment un groupe plein-topologique peut agir sur un espace compact (au dela de son action naturelle). Je vais énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une action d'un groupe plein soit "induite" par une action du groupoïde sous-jacent. On retrouvera ainsi la caractérisation des isomorphismes et on montrera que dans certains cas ce résultat s'étend à des homomorphismes arbitraires entre groupes pleins.