Calcul de Weingarten classique et quantique

Le problème de calculer des intégrales polynomiales par rapport à la mesure de Haar sur un groupe matriciel compact (éventuellement quantique) se résume souvent à ce qu’on appelle de nos jours le calcul de Weingarten. Il fait intervenir une fonction dite de Weingarten qui est étroitement reliée a la représentation des groupes, et dont les propriétés algébriques et analytiques ont des liens avec beaucoup de domaines inattendus (probabilités, probabilités libres, combinatoire, etc). L’existence de cette fonction a été révélée par des physiciens (’t Hooft, Weingarten…) dans les années 70, mais pas prouvée de manière complètement générale d’un point de vue mathématique jusqu'au debut des années 2000. Les premières preuves reposent sur la théorie de la représentation, alors que les techniques de Weingarten pour justifier l’existence de sa fonction étaient plus élémentaires, basées, sur des relations d’orthogonalité. Nous revisitons les techniques de Weingarten et leur donnons un contexte mathématique rigoureux. Cela simplifie certaines preuves, et nous permet d’approfondir notre connaissance de la fonction de Weingarten. En particulier, cela nous permet de résoudre une conjecture de Jones, et d’obtenir des bornes uniformes optimales pour la fonction de Weingarten. (Travail en partie en collaboration avec Sho Matsumoto et Mike Brannan)