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Résumé : Les célèbres fibrations de Hopf sont des fibrations de sphères par des grandes sphères. Il existe trois familles de ces fibrations et une exceptionnelle ; la plus connue est la fibration de la sphère de dimension 3 par des grands cercles. Nous allons «visualiser» les fibrations de Hopf dans l'espace euclidien et investiguer les divers liens avec la combinatoire et la théorie des nombres, notamment avec la fonction de Hurwitz-Radon.

Résumé : Les données arrivent maintenant, on le sait, de façon massive («un déluge de données»). C’est le phénomène du Big Data qui pose des défis de tous ordres au monde moderne et les mathématiciens ont à l’évidence une carte importante à jouer face à ces nouveaux défis.
Les informaticiens et les statisticiens sont pour l’instant à l’avant-pont de ces problèmes, du à leur expérience en matière de traitement des données, mais bien des questions dans ce domaine requièrent les compétences approfondies de diverses parties des mathématiques.
Nous décrirons dans cet exposé, plusieurs aspects du traitement des données en grande dimension en nous attachant à indiquer ou décrire des liaisons possibles ou établies avec d’autres domaines des mathématiques. Nous parlerons en particulier du «Compressed sensing» ou comment reconstituer un signal à partir de seulement quelques projections linéaires. Nous introduirons les concepts de «décodeur l1» et de conditions d’isométrie restreinte.
Cela nous amènera vers la notion de concentration en probabilité et en particulier celle des grandes matrices aléatoires.
Nous parlerons ensuite de «sparsité» mot franglais dont l’acception française la plus proche est sans doute parcimonie. Nous relierons cette notion à la notion de régularité des fonctions (fonctions lipschitziennes par exemple) et de leur représentation dans diverses bases : base trigonométrique, base de Haar, base d’ondelettes, et plus généralement bases localisées associées à la diagonalisation d’un opérateur décrivant une géométrie.
Nous étendrons au problème fondamental de la représentation des données, c’est à dire de leur transformation en un nombre (idéalement petit) de fonctions qui permettent d’en faire ressortir au mieux les phénomènes saillants. Cette partie nous permettra en particulier d’aborder l’utilisation des Laplaciens de graphes.

Résumé : L'étude des mouvements de foules a connu un formidable essor ces dernières années, d'abord du côté de la physique, puis des mathématiques. S'agissant des approches microscopiques (personnes individualisées), nous tâcherons de montrer comment la prise en compte de comportements individuels simples peut conduire à des problèmes complexes liés au comportement global de collections d'un grand nombre d'individus. Puis nous détaillerons les questions mathématiques liées à la prise en compte de la congestion dans les versions macroscopiques (foule décrite par une densité) de ces modèles, en lien avec le transport optimal et la distance de Wasserstein.

Ce document a été mis à jour le 30 septembre 2015.