COLLOQUIUM

Résumé : Existe-t-il un entier positif qui se décrit lui-même, c’est-à-dire dont le premier chiffre représente le nombre de 0 qu’il contient, le deuxième chiffre le nombre de 1 qu’il contient, et ainsi de suite ? Ramanujan avait observé que 1729 est le plus petit entier positif pouvant s’écrire comme la somme de deux cubes de deux manières distinctes; en effet, 1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3. Existe-t-il un entier positif pouvant s’écrire comme la somme de deux puissances quatrièmes de deux manières distinctes? Que dire de la somme de deux puissances cinquièmes? Un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que 2^{p-1}-1 est un multiple de p^2. Les nombres premiers 1093 et 3511 sont de tels nombres et on n’en connait pas d’autres. Curieusement, on ne sait démontrer ni qu’il existe une infinité de nombres premiers de Wieferich ni qu’il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas des nombres premiers de Wieferich. Voici donc quelques-unes des questions que nous examinerons au cours de cet exposé, nous permettant à chaque fois d’identifier des nombres qui nous fascinent !

Résumé : La moyennabilité est un concept introduit par J. von Neumann dans son article fondateur (1929) afin de comprendre ce qu'on appelle le paradoxe de Banach-Tarski. On montre facilement que le groupe libre F à deux générateurs est non moyennable. Il en découle que les groupes discrets dénombrables contenant F ne sont pas moyennables. Le «problème de von Neumann» s'interroge sur une réciproque.
Dans les années 80, Ol'shanskii a montré que ses monstres de Tarski fournissent des contre-exemples.
Cependant, afin d'étendre certains résultats concernant les groupes qui contiennent F à d'autres groupes G non moyennables, il suffit parfois de savoir qu'ils contiennent F dans un sens dynamique bien plus faible. Plus précisément, il suffit de savoir que G admet une action libre préservant une mesure de probabilité dont les orbites se décomposent en orbites d'une action libre ergodique de F.
La solution de ce «problème de von Neumann mesuré» fait appel à la théorie de la percolation sur les graphes de Cayley et à celle de coût des actions.

Résumé : Découvertes (ou inventées ?) par Richard Laver au début des années 1990, les tables maintenant appelées tables de Laver sont une suite de structures finies à 2^n éléments qui obéissent à la loi x(yz)=(xy)(xz) et jouent un rôle fondamental dans l'étude de cette loi. Ce qui est étonnant, c'est que, alors que leur construction est totalement explicite, certaines des propriétés combinatoires de ces structures ne sont établies (pour le moment) qu'à l'aide d'arguments mettant en jeu des axiomes de grand cardinal dont ni la validité, ni même la non-contradiction ne peuvent être démontrées.
L'exposé expliquera la construction des tables, puis les liens avec la théorie des ensembles et les abîmes de perplexité qu'ils ouvrent, et enfin quelques pistes en vue d'applications éventuelles à la théorie des tresses et des nœuds en topologie de basse dimension via des calculs de cocycles.

Résumé : Les paradoxes de la découverte scientifique sont bien connus : souvent, ce que l’on cherche n’est pas trouvé, ce que l’on trouve n’était pas cherché. Et pourtant, impossible à planifier, difficile à gérer, toujours mal évaluée, la recherche avance.
Cet exposé fait suite à la sortie du livre «Promenade dialectique dans les sciences», dont certains passages seront évoqués. Tout en étant axé sur les mathématiques, il montrera l’unité et la nature de la démarche scientifique à l’aide d’analogies facilement compréhensibles.
Le caractère approché de la connaissance, les mécanismes et les errements de la pensée lors de la démarche de recherche, le rôle des erreurs et des interactions entre des domaines scientifiques éloignés seront évoqués à l’aide d’exemples.
L’accent est mis sur une interprétation de la recherche à l’aide de la dialectique et des systèmes dynamiques, respectivement cadres généraux philosophique et mathématique, des phénomènes évolutifs à causalité multiple (parfois contradictoire) et non instantanée.

Résumé : Je commencerai avec un problème facile à formuler : l'existence et la construction de groupes infinis, simples et de type fini ; c'est une question naturelle de théorie des groupes. Une remarque de départ est que, pour les groupes infinis de type fini, être simple et être linéaire (c'est-à-dire isomorphe à un groupe de matrices) sont des propriétés incompatibles. Ceci force à travailler sur des groupes pour lesquels les techniques de groupes de matrices ou de groupes algébriques sont inopérantes (mais pas les intuitions !). On expliquera qu'une question plus délicate et plus intéressante est celle de la construction de groupes infinis simples qui soient de présentation finie (on demande non seulement un nombre fini de générateurs, mais aussi un nombre fini de relations dans une présentation convenable). On finira en expliquant une stratégie récente de construction, s'appuyant sur une analogie (limitée) avec les réseaux des groupes de Lie ; les groupes obtenus agissent sur le produit de deux arbres, ou plus généralement de deux immeubles.