COLLOQUIUM

Résumé : Nous montrons en utilisant les matrices aléatoires qu'il existe un grand nombre d'expanseurs quantiques de dimension arbitrairement grande avec des paramètres de trou spectral fixés. On décrira plusieurs applications (dont certaines de nature géométrique) pour les espaces d'opérateurs.

Résumé : Même si la théorie a fait des progrès remarquables ces dernières années et même si elle continue d'en faire, les nombres transcendants recèlent plus de grands problèmes qu'ils ne disposent de résultats. Nous présentons quelques-uns des principaux défis sur lesquels on ne sait pas grand chose. Nous parlerons notamment de conjectures de É. Borel, S. Schanuel, A. Grothendieck, Y. André, M. Kontsevich et D. Zagier.

Résumé : Peu de choses sont connues en général sur les familles finies de matrices inversibles, considérées à conjugaison près. Je considérerai le cas de familles irréductibles (sans sous-espace invariant commun) qui sont rigides. Je donnerai une version élémentaire de l'algorithme de N. Katz (1996), due à M. Dettweiler et S. Reiter (2000), qui permet de ramener ces familles à des familles finies de nombres complexes non nuls. Dans le cas particulier où les valeurs propres des matrices sont toutes de module égal à 1, je m'intéresserai à l'existence d'une forme hermitienne invariante et à sa signature. Cet aspect fait intervenir la théorie de Hodge et, de ce fait, l'analyse L^2 (Dettweiler-C.S. 2012).

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