COLLOQUIUM

Résumé : Soit A une classe d'objets munis d'une taille entière telle que pour tout n le nombre a_n d'objets de taille n est fini. On s'intéresse aux cas où la série génératrice associée, A(t)= \sum_n a_n t^n, est rationnelle, ou plus généralement algébrique.
Ces propriétés présentent un intérêt pratique, car on sait alors dire beaucoup de choses sur les nombres a_n, mais aussi un intérêt plus spécifiquement combinatoire : la nature rationnelle ou algébrique de la série suggère que les objets possèdent une structure (peut-être bien cachée) semblable, en gros, à la structure linéaire des mots dans le cas rationnel, et à la structure branchante des arbres dans le cas algébrique.
On discutera cette intuition combinatoire, en l'illustrant par des exemples. L'impression finale devrait être que, si cette intuition paraît satisfaisante dans le cas rationnel, elle est probablement incomplète dans le cas algébrique. Au travers de l'exposé, on apportera quelques réponses à la question (essentielle) suivante : et au fait, comment prouve-t-on qu'une série génératrice est rationnelle, ou algébrique ?

Résumé : Dans les années 1950, Heinz a montré qu'il n'y a pas de difféomorphisme harmonique de H sur C. Il a ensuite utilisé ce résultat pour prouver le théorème de Bernstein : tout graphe au dessus du plan euclidien qui est une surface minimale est un plan. Il a été conjecturé par R. Schoen qu'il n'y a pas de difféomorphisme harmonique surjectif de C sur H. Nous construirons de tels difféomorphismes en construisant des graphes minimaux entiers dans HxR qui sont conformément équivalents à C (travail en commun avec Pascal Collin).