COLLOQUIUM

Programme 2003/2004

Il se tient le mardi à 18h en salle S3-122, deux fois par trimestre.

25 novembre 2003 : Jean-Pierre DEMAILLY (Grenoble) - EQUATIONS DIFFERENTIELLES ET VARIETES ALGEBRIQUES HYPERBOLIQUES.

Résumé: Une variété algèbrique complexe est dite hyperbolique si elle n'admet pas de courbe holomorphe entière (à savoir une courbe paramétrée par la droite complexe toute entière). Les travaux de Kobayashi, Green-Griffiths, Lang-Vojta ont montré qu'il s'agit d'une propriété géométrique très subtile, intimement liée à l'étude des points rationnels sur les variétés arithmétiques. J'essaierai d'expliquer ici le rôle des équations différentielles dans le sujet, et présenterai un problème ouvert naturel concernant certains anneaux d'opérateurs différentiels.

3 février 2004: Jacques ALEV (REIMS) - LE CORPS ENVELOPPANT D'UNE ALGEBRE DE LIE.

Résumé: Soit g une algèbre de Lie sur un corps k, U(g) l'algèbre enveloppante, K(g) le corps enveloppant et C(g) le centre de K(g). Soit par ailleurs A(n;k) l'algèbre de Weyl, anneau des opérateurs différentiels à coefficients polynômiaux, et D(n,k) le corps de fractions de A(n,k). L'hypothèse fondamentale de Gel'fand et Kirillov stipule que si g est algébrique de dimension finie sur k de caractéristique 0, K(g) est isomorphe à D(n,k,s) pour n et s convenables. Il s'agit d'un résultat de rationnalité commutative en ce qui concerne C(g) et de rationnalité non commutative en ce qui concerne K(g). Lors de cet exposé, nous allons présenter le developpement historique de cette conjecture et insisterons sur les résultats analogues récents dans les situations suivantes: quantique, dimension infinie, caractéristique positive de k.

30 mars 2004: Daniel BARLET (NANCY) - SINGULARITES REELLES ISOLEES ET DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES D'INTEGRALES OSCILLANTES

Résumé: Si f est une fonction définie sur un germe de sous-ensemble analytique réel a l'origine X de dimension n ayant une singularité isolée en 0, les intégrales oscillantes $\int_A\exp{iµf(x)}\phi(x)$ peuvent être vues comme des versions a n dimensions de la transformée de Fourier de f. Leur développement asymptotique pour µ tendant vers l'infini est difficile dans le cas où f a une singularité isolée en l'origine et où sa complexifiée f_C s'annule sur le lieu singulier de X_C. Pour chaque composante A de X - {0}, on montrera l'existence d'un n-cocycle G(A) explicite dans la fibre de Milnor complexe de f_C en 0 tel que la décomposition spectrale de G(A) par rapport a la monodromie de f_C en 0 detecte les termes non triviaux de l'intégrale oscillante considerée.

18 mai 2004: Jean-Yves CHEMIN (PARIS) - LES INCLUSIONS DE SOBOLEV REVISITEES

Résumé: Dans cet exposé, nous souhaitons revisiter de manière élémentaire les inclusions de Sobolev classiques, par exemple celle qui affirme que, dans R^3, si (\nabla u)(x) est dans L^2, alors u(x) est dans L^6 et la norme de L^6 de u(x) est au plus la norme L^2 de (\nabla u)(x). Ce type d'éstimations est à la base d'innombrables résultats sur les équations aux dérivées partielles non linéairles. Nous verrons par exemple comment démontrer une inégalité de Sobolev affirmant que la norme de L^6 de u(x) est au plus la norme E de (\nabla u)(x) à la puissance 1/3 multipliée par la norme L^2 de (\nabla u)(x) à la puissance 2/3, où E est un espace de Banach dont la norme est beaucoup plut petite que la norme L^6. Cet espace, définissable très simplement, est un espace a régularité négative. Nous verrons, au travers de l'exemple de l'équation de Navier-Stokes incompressible, comment ce type d'espace trouve des applications en théorie des équations aux dérivées partielles non linéairles.